分布（数理统计）

数理统计中，分布是描述随机变量行为的基础。为了方便查阅和对比，我将常用的分布分为 离散型、连续型 和 三大抽样分布 进行了整理，重点归纳了它们的概率函数、期望、方差及核心性质。

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一、 常用离散型分布 (Discrete Distributions)

主要描述计数数据（如人数、成功次数）。

分布名称	记号	概率质量函数 (PMF) $P(X=k)$	期望 $E(X)$	方差 $Var(X)$	典型应用场景 & 性质
0-1分布 (伯努利)	$B(1,p)$	$p^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1$	$p$	$p(1-p)$	单次试验成功的概率。二项分布的基础。
二项分布	$B(n,p)$	$C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$	$n$ 次独立重复试验中成功的次数。当 $n$ 很大、$p$ 很小时逼近泊松分布。
泊松分布	$P(\lambda )$	$\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	单位时间/空间内稀有事件发生的次数。性质：期望等于方差。
几何分布	$G(p)$	$p(1-p{)}^{k-1},k=1,\mathrm{2...}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$	首次成功所需的试验次数。具有无记忆性。
超几何分布	$H(N,M,n)$	$\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$	$n\frac{M}{N}$	(略复杂)*	不放回抽样。当 $N$ 很大时，可用二项分布近似。

注：几何分布此处定义为“第 $k$ 次是第一次成功”。 *超几何分布方差：$n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}$

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二、 常用连续型分布 (Continuous Distributions)

主要描述测量数据（如时间、长度、温度）。

分布名称	记号	概率密度函数 (PDF) $f(x)$	期望 $E(X)$	方差 $Var(X)$	典型应用场景 & 性质
均匀分布	$U(a,b)$	$\frac{1}{b-a},a<x<b$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$	随机变量在区间内等可能出现。
指数分布	$Exp(\lambda )$	$\lambda e^{-\lambda x},x>0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$	独立随机事件发生的时间间隔（如排队等待时间）。唯一具有无记忆性的连续分布。
正态分布	$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$\mu$	${\sigma }^2$	自然界最常见的分布。钟形曲线，对称性。$3\sigma$ 准则。

N元正态分布 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}|\Sigma {|}^{1/2}}\exp \{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^{\prime }{\Sigma }^{-1}(x-\mu )\}$

💡 重点：正态分布的线性性质

• 若 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 且相互独立，则： $aX+bY\sim N(a{\mu }_1+b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2)$ 这是数理统计中很多推导的基础。

• $X_i\sim N\left({\mu }_0,{\sigma }^2\right)$, 样本均值 $\bar{X}\sim N\left({\mu }_0,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$

• 对于二元正态分布，条件分布 $X_2|X_1=x_1$ 依然是正态分布 $N({\mu }_{2|1},{\sigma }_{2|1}^2)$。 公式：

$${\mu }_{2|1}={\mu }_2+\rho \frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(x_1-{\mu }_1)={\mu }_2+\frac{{\sigma }_{21}}{{\sigma }_{11}}(x_1-{\mu }_1)$$ $${\sigma }_{2|1}^2={\sigma }_2^2(1-{\rho }^2)={\sigma }_{22}-\frac{{\sigma }_{21}^2}{{\sigma }_{11}}$$

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三、 三大抽样分布 (Sampling Distributions)

这三个分布是统计推断（假设检验、区间估计）的核心工具，它们都源于正态分布。

1. ${\chi }^2$ 分布 (卡方分布)

• 定义：设 $X_1,...,X_n$ 独立且服从标准正态分布 $N(0,1)$，则统计量 ${\chi }^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，记为 ${\chi }^2(n)$。
• 性质：
  • 可加性：若 $X\sim {\chi }^2(n_1),Y\sim {\chi }^2(n_2)$ 且独立，则 $X+Y\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$。
  • 期望 $E({\chi }^2)=n$，方差 $Var({\chi }^2)=2n$。
• 用途：用于检验方差、拟合优度检验、列联表分析。

2. $t$ 分布 (学生氏 t 分布)

• 定义：设 $X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$ 且独立，则 $T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记为 $t(n)$。
• 性质：
  • 图形类似标准正态分布，但尾部更厚 (Fat tails)，峰部更低。
  • 当 $n\to \infty$ 时，$t(n)\to N(0,1)$。
• 用途：小样本情况下，未知总体方差时的均值检验。

3. $F$ 分布

• 定义：设 $U\sim {\chi }^2(n_1),V\sim {\chi }^2(n_2)$ 且独立，则 $F=\frac{U/n_1}{V/n_2}$ 服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布，记为 $F(n_1,n_2)$。
• 性质：
  • $F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$ （倒数性质，查表常用）。
• 用途：方差分析 (ANOVA)、方差齐性检验。

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四、 分布之间的关键联系 (Cheat Sheet)

理解这些联系能帮你更好地记忆：

1. 二项分布 $\to$ 正态分布：根据中心极限定理，当 $n$ 很大时，$B(n,p)$ 近似于 $N(np,np(1-p))$。
2. 二项分布 $\to$ 泊松分布：当 $n$ 很大，$p$ 很小，且 $\lambda =np$ 适中时，二项分布近似于泊松分布。
3. 泊松分布与指数分布：如果单位时间内事件发生的次数服从泊松分布 $P(\lambda )$，那么两次事件发生的时间间隔服从指数分布 $Exp(\lambda )$。
4. 三大分布的关系图： $N(0,1)\stackrel{平方和}{\to }{\chi }^2|\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2/n}}\to t|\frac{{\chi }^2/n_1}{{\chi }^2/n_2}\to F$